倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题:1.22日(2018省赛A组第10题)

2021年寒假每日一题,2017~2019年的省赛真题。
本文内容由倪文迪(华东理工大学计算机系软件192班)和罗勇军老师提供。
后面的每日一题,每题发一个新博文,请大家每天博客蓝桥杯专栏: https://blog.csdn.net/weixin_43914593/category_10721247.html

提供C++、Java、Python三种语言的代码。

文章目录

1、题目描述 2、题解 3、Python代码 4、C++代码 5、Java代码

2018省赛A组第10题“倍数问题” ,题目链接:
http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1367
https://www.dotcpp.com/oj/problem2278.html

1、题目描述


几个人一起出去吃饭是常有的事。但在结帐的时候,常常会出现一些争执。
现在有 n 个人出去吃饭,他们总共消费了 S 元。其中第 i 个人带了 ai 元。
幸运的是,所有人带的钱的总数是足够付账的。但现在问题来了:每个人分别要出多少钱呢?
为了公平起见,我们希望在总付钱量恰好为 S 的前提下,最后每个人付的钱的标准差最小。
这里我们约定,每个人支付的钱数可以是任意非负实数,即可以不是1分钱的整数倍。你需要输出最小的标准差是多少。
标准差的介绍:标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数,一般用于刻画这些数之间的“偏差有多大”。
形式化地说,设第 i 个人付的钱为 b i b_i bi​ 元,那么标准差为 :
   x = 1 n ∑ i = 1 n ( b i − 1 n ∑ i = 1 n b i ) 2 x=\sqrt {\frac1n \sum_{i=1}^n(b_i-\frac1n \sum_{i=1}^nb_i )^2} x=n1​∑i=1n​(bi​−n1​∑i=1n​bi​)2 ​
输入:第一行包含两个整数 n、S;第二行包含 n 个非负整数 a1, …, an。
n ≤ 5 × 10^5, 0 ≤ ai ≤ 10^9。
输出:输出最小的标准差,四舍五入保留 4 位小数。
保证正确答案在加上或减去 10^−9 后不会导致四舍五入的结果发生变化。


2、题解

   公式里面有两个求和,还是嵌套的,有点烦。再仔细看,其实后一个求和就是S,所以公式就是:
   x = 1 n ∑ i = 1 n ( b i − S n ) 2 x=\sqrt {\frac1n \sum_{i=1}^n(b_i-\frac Sn )^2} x=n1​∑i=1n​(bi​−nS​)2 ​
  松了一口气!
  如果每人带的钱够多,人均完全一样, b i = S n = a v g b_i=\frac Sn=avg bi​=nS​=avg,那就简单了,得 x = 0 x=0 x=0。不过,总有人钱不够,所以分两种情况:
  (1)第 i i i人带的钱不够平均数 a v g avg avg,那么他只能出他带的全部钱 a i a_i ai​。
  (2)第 i i i人带的钱比平均数 a v g avg avg多,那么他可以多摊一些。
  基本步骤是:
  (1)对 a i a_i ai​从小到大排序;
  (2)前一部分人的钱不够,那么就出他们所有的钱;
  (3)从总付钱数中扣除前一部分人出的钱,得剩余钱数为 S ’ S’ S’,以及后一部分人的出钱平均数 a v g ’ avg’ avg’。
  (4)后一部分人的钱多,他们多出一些。怎么出?这部分人也分两类:1)比较有钱的,但是他的钱也不够 a v g ’ avg’ avg’,那么他的钱还是要全出;2)非常有钱的,不管怎么摊他都有富余。

3、Python代码

from math import *
n, s = map(int,input().split())
a = list(map(int,input().split()))
a.sort()

avg = s/n
sum = 0
for i in range(n):
     if a[i]*(n-i) < s:
          sum += pow(a[i]-avg,2)
          s -= a[i]
     else:
          cur_avg = s/(n-i);      #更新平均出钱数
          sum += pow(cur_avg-avg,2)*(n-i)
          break
print('{:.4f}'.format(sqrt(sum/(n))))

4、C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=5e5;

long long a[M];
int main(){
    int n;  long long s;   scanf("%d %ld",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%ld",&a[i]);

    sort(a+1,a+n+1);     //排序,从小到大
    double avg=1.0*s/n;  //平均值
    double sum=0.0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]*(n+1-i)<s){     //需要把钱全拿出的人:(1)钱不够平均数的,(2)钱够平均数,但也不是很多的
            sum+=(a[i]-avg)*(a[i]-avg);
            s-=a[i];            //更新剩余钱数
        }
        else{                    //不用把钱全拿出的人:非常有钱,不管怎么平均都够
            double cur_avg=1.0*s/(n+1-i);  //更新平均出钱数
            sum += (cur_avg-avg)*(cur_avg-avg)*(n+1-i);
            break;
        }
    }
    printf("%.4f",sqrt(sum/n));
    return 0;
}

5、Java代码

//http://oj.ecustacm.cn/ User: 182208202103
import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
 
public class Main {
    public static void main(String args[]) throws FileNotFoundException {
        int n,i;
        long S;
        double ans=0,avg;
        Scanner input=new Scanner(System.in);
        n=input.nextInt();
        S=input.nextLong();
        long a[]=new long[n];
        for(i=0;i<n;i++) {
            a[i]=input.nextLong();
        }
        Arrays.sort(a);
        avg=(double)S/n;
        for(i=0;i<n;i++) {
            if(S<=(n-i)*a[i]) {
                ans+=(n-i)*Math.pow((double)S/(n-i)-avg,2);
                break;
            }
            ans+=Math.pow(a[i]-avg,2);
            S-=a[i];
        }
        System.out.printf("%.4f\n",Math.sqrt(ans/n));
    }
}